Перейти…

VGil journal

Архив

RSS Feed

17.08.2018

Все просто… Универсальная формула поиска истины…


Originally posted by

 

взято отсюда

Них***я непонятно, но красиво!


Уравнение лагранжа.
Пусть L(y(x),x) дифференциальный многочлен второго порядка:



Сучествует ли такой многочлен(множитель) z(х), что умножая его на многочлен L(y(x),x), можно получить производную от дифференциального многочлена (первого порядка): φ(y(x),z(x))


Такой множитель сушествует, воспользуемся формулой интегрирования по частям, для каждого члена z(х)*L(y(x),x):
Для первого члена:

=

Повторно применяя формулу интегрирования по частям:


В результате получим:


Для второчо члена:


Для третьего:

Дифференциируя обе части этих выражений, для первого члена:



Для второго:

Для третьего:

Подставляя все это в z(х)*L(y(x),x), получим:



Введем многочлен φ(y(x),z(x)), равный:


Введем многочлен M(z(x),x), равный:

Получим:

Или:

здесь многочлен φ(y(x),z(x)) называется билинейной формой, а многочлен M(z(x),x), называется сопряженный многочлен к многочлену L(y(x),x). И соответственно уравнение M(z(x),x) = 0: сопряженное к уравнению L(y(x),x) = 0.

Самосопряженным уравнением, называется такое уравнение, у которого сопряженное уравнение имеет одинаковые решения с сопрягаемым.
Найдем условие самосопряженности, имеем:






Для того, чтобы уравнения имели одинаковые решения, их коэффициенты должы быть пропорциональны, но так-как в наших уравнениях первый коэффициент равен а0(х), то и остальные должны быть равны, чтобы соблюдалось свойство пропорциональности коэффициентов.
Тоесть M(y(x),x) = L(y(x),x):




a0(x), при y»,сокрашается:




Для коэффициентов при y, имеем:


Для коэффициентов при y’, имеем:


Из обоих уравнений следует тождество(условие самосопряженности):


Интересно, что умножая первоналальный многочлен L(y(x), x), на специально выбранный многочлен ρ(x), можно представить его в самосопряженной форме. Умножим почленно на ρ(x):


Применяя условие самосопряженности, для новых коэффициентов, имеем:


Найдем значение ρ(x), на которов надо умножить уравнение, для перехода к самосопряженной форме:


Follow Giltaichuk on Twitter

Метки:

Добавить комментарий